Chaire d'Analyse Appliquée 


Cours de troisième cycle
Département de mathématiques



 

Géométrie conforme des points, des courbes et des surfaces (dans l'espace ou la sphère S3)

Par Monsieur le Professeur Rémi Langevin (Université de Bourgogne, Dijon)


 


Le but du mini-cours est de présenter des résultats très récents obtenus avec J. O'Hara concernant la géométrie conforme des courbes de S3 ou R3. S'il reste du temps, quelques problèmes concernant les surfaces seront posées.



Pour cela il faut commencer par présenter la géométrie conforme des sphères de S3 : représentation géométrique de l'espace des sphères orientées comme une quadrique de R5 munie de la forme quadratique de Lorentz:

L=x12+x22+x32+x42-x52

C'est en fait une manière un peu plus moderne de présenter les coordonnées pentasphériques (voir Darboux par exemple). La géométrie conforme de 4 points du cercle, des cercles de S2 servira d'introduction.


Nous relirons le calcul utilisant L et des propriétés géométriques des enveloppes de familles à un ou deux paramètres de sphères.


Nous définirons ensuite une mesure invariante par l'action du groupe conforme sur cette quadrique, qui nous permettra de proposer des invariants conformes des courbes et des surfaces de S3 ou R3.


Enfin nous proposerons une démontration d'un théorème à la Fary-Fenchel-Milnor.


Des discussions permettrons de tenter de relier les résultats conformes et les "formes optimales" obtenues par l'équipe de Lausanne.





Pour plus d'informations : E-mail : john.maddocks@epfl.ch